العاصفة الكروية والسلبية

الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسة،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيمنالعددالمركب.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىغاوس)،حيث:
-المحورالأفقي(x)يمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسي(y)يمثلالجزءالتخيلي(b).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   [(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
   مثال:
   [(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
   [=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=2+i+3=5+i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   مثال:
   [\frac{ 1+2i}{ 3-4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ (3-4i)(3+4i)}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 9+16}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

المرافقوالقياس

• مرافقالعددالمركب(Conjugate):
  إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
• قياسالعددالمركب(Modulus):
  يُحسبباستخدامنظريةفيثاغورس:
  [|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تُستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-معالجةالإشارات:فيتحويلفورييه(FourierTransform).
-الميكانيكاالكمية:لوصفالدوالالموجية.

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواتقويةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلولفينطاقالأعدادالحقيقية.بفهمأساسياتها،يمكنتطبيقهافيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.