العاصفة الكروية والسلبية

فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسة،الفيزياء،وحتىفيعلومالحاسوب.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

ماهيالأعدادالمركبة؟

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart)
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart)

يُكتبالعددالمركبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنها(i=\sqrt{ -1}).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   [(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]

   

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
   مثال:
   [(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
   [=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=5+i]

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   مثال:
   [\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}]
   [=\frac{ 3+10i-8}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).

تُعرفالمسافةبينالنقطة((a,الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطb))ونقطةالأصل((0,0))بـالمقياس(Modulus)وتُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

استخداماتالأعدادالمركبة

• الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
• الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
• معالجةالإشارات:تُستخدمفيتحويلاتفورييه(FourierTransform)لتحليلالموجات.

الخلاصة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكننااستخدامهافيمجالاتمتعددةلتحليلالظواهرالمعقدة.

إذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُنصحبالتعمقفيدراسةالتحليلالمركب(ComplexAnalysis)الذييقدمنظرياتمتقدمةحولهذهالأعداد.