العاصفة الكروية والسلبية

فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلمعالجةالإشاراتوالفيزياءالكميةوحتىفيالرسومياتالحاسوبية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

ماهيالأعدادالمركبة؟

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart).
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart).

يُكتبالعددالمركبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أي:
[i^2=-1]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالمركب(ComplexPlane)،حيثيُرسمالجزءالحقيقيعلىالمحورالأفقي(محور(x))والجزءالتخيليعلىالمحورالرأسي(محور(y)).بهذهالطريقة،يصبحالعددالمركبنقطةفيالمستوىثنائيالأبعاد.

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   [(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
   مثال:
   [(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
   [=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=5+i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيالمرافقالمركب(ComplexConjugate)للمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   مثال:
   [\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ -5+10i}{ 25}=-\frac{ 1}{ 5}+\frac{ 2}{ 5}i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

• الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
• الفيزياء:تساعدفيحلمعادلاتميكانيكاالكم.
• معالجةالصور:تُستخدمفيتحويلاتفورييهلتحليلالإشارات.

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواتقويةلحلمسائلمعقدةفيالرياضياتوالعلوم.بفهمأساسياتها،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةبسهولةوكفاءة.

إذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُنصحبالبحثعنصيغةأويلر(Euler'sFormula)التيتربطالأعدادالمركبةبالدوالالمثلثيةوالأسية!