العاصفة الكروية والسلبية

2025-09-08 21:32دمشق

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهاعادةبالصيغةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)شرحدرسالأعدادالمركبة

لماذاندرسالأعدادالمركبة؟

ظهرتالحاجةإلىالأعدادالمركبةعندماواجهالعلماءصعوبةفيحلبعضالمعادلاتالجبريةالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية.مثلالمعادلةx²+1=0التيليسلهاحلحقيقي.

شرحدرسالأعدادالمركبة

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مثال:(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i

شرحدرسالأعدادالمركبة

2.الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مثال:(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=2+7i-6=-4+7i

شرحدرسالأعدادالمركبة

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مثال:(3+4i)÷(1+2i)=[(3+4i)(1-2i)]÷[(1+2i)(1-2i)]=[3-6i+4i-8i²]÷[1-4i²]=[3-2i+8]÷[1+4]=(11-2i)÷5=11/5-(2/5)i

شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(طولالمتجه)-θهيالزاوية(الوسيطة)

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:1.الهندسةالكهربائية2.معالجةالإشارات3.ميكانيكاالكم4.الرسوماتالحاسوبية5.نظريةالتحكم

شرحدرسالأعدادالمركبة

خاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومناللأعدادوتفتحآفاقاًجديدةفيالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيلي،وإتقانالعملياتالأساسيةعليها.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدةمثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقاممثال:(3+4i)/(1-2i)=[(3+4i)(1+2i)]/[(1-2i)(1+2i)]=(3+6i+4i+8i²)/(1-4i²)=(-5+10i)/5=-1+2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)ويحسببالعلاقةr=√(a²+b²)-θهيالزاويةوتسمىالسعةوتحسببالعلاقةθ=arctan(b/a)

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتالرقمية
3. فيميكانيكاالكم
4. فيتحليلالدوالالرياضيةالمعقدة

خاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأداةقويةلحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيليوكيفيةالتعاملمعهمفيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1

شرحدرسالأعدادالمركبة

تاريخالأعدادالمركبة

ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.كانجيرولاموكاردانوأولمنقدمهذهالأعدادفيكتابه"آرسماغنا"عام1545.

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
2. الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
3. القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام

التمثيلالهندسي

يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبية

يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاوية(الطور)

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتالرقمية
3. فيميكانيكاالكم
4. فيالرسوماتالحاسوبية

خاتمة

الأعدادالمركبةتلعبدوراًأساسياًفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهذهالأعداديفتحآفاقاًجديدةلحلمشكلاتمعقدةلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصلمثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقاممثال:(1+i)/(2-i)=[(1+i)(2+i)]/[(2-i)(2+i)]=(2+i+2i+i²)/(4-i²)=(1+3i)/5

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)ويحسببالعلاقة√(a²+b²)-θهيالزاوية(الطور)وتحسببالعلاقةtan⁻¹(b/a)

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:1.الهندسةالكهربائية2.معالجةالإشارات3.ميكانيكاالكم4.الرسوماتالحاسوبية

شرحدرسالأعدادالمركبة

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهافينظامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهاأساسيفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة.مثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:لضربعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(نغيرإشارةالجزءالتخيليفقط)

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهومعيارالعددالمركب(المسافةمنالأصلللنقطة)-θهيالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالحقيقيالموجب

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتالرقمية
3. فيميكانيكاالكم
4. فيتحليلالدوالالرياضيةالمعقدة

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتقدمأداةقويةلحلمعادلاتلايمكنحلهافينظامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمالأعدادالمركبةأساسيفيالعديدمنفروعالرياضياتالمتقدمةوالتطبيقاتالهندسيةوالعلمية.

شرحدرسالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتدرسفيالمراحلالمتقدمة،حيثتمثلامتدادًالمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،كيفيةتمثيلها،والعملياتالحسابيةالأساسيةالتييمكنإجراؤهاعليها.

شرحدرسالأعدادالمركبة

تعريفالأعدادالمركبة

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
a+bi
حيث:
-aوbعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1.

شرحدرسالأعدادالمركبة

يُطلقعلىaالجزءالحقيقيللعددالمركب،بينمايُسمىbالجزءالتخيلي.

شرحدرسالأعدادالمركبة

تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبطريقتينرئيسيتين:

شرحدرسالأعدادالمركبة

1. التمثيلالجبري:وهوالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةa+bi،مثل3+4i.
2. التمثيلالهندسي:حيثيمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.

العملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3i-5i)=3-2i

شرحدرسالأعدادالمركبة

2.الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأنi²=-1.
مثال:
(1+2i)×(3-i)=1×3+1×(-i)+2i×3+2i×(-i)
=3-i+6i-2i²
=3+5i-2(-1)
=3+5i+2
=5+5i

شرحدرسالأعدادالمركبة

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
(4+2i)÷(1-i)
نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(1+i):
=[(4+2i)(1+i)]÷[(1-i)(1+i)]
=[4+4i+2i+2i²]÷[1-i²]
=[4+6i+2(-1)]÷[1-(-1)]
=(2+6i)÷2
=1+3i

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. المرافقالمركب:إذاكانالعددالمركبهوz=a+bi،فإنمرافقههوa-bi.
2. المقياس(Modulus):هوالمسافةبينالنقطةالممثلةللعددالمركبفيالمستوىالإحداثيونقطةالأصل،ويُحسببالصيغة:
   |z|=√(a²+b²)
3. الزاوية(Argument):هيالزاويةالتييصنعهاالمتجهالممثلللعددالمركبمعالمحورالحقيقيالموجب.

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالكهربائية).
-الفيزياء(ميكانيكاالكم).
-معالجةالإشارات.
-الرسوماتالحاسوبية.

شرحدرسالأعدادالمركبة

خاتمة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.منخلالفهمأساسياتهاوتمثيلاتها،يمكنتطبيقهافيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.

شرحدرسالأعدادالمركبة